Giải chi tiết Thực hành 4 Bài 3. Hàm số liên tục (trang 82, 83) – SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Hướng dẫn: Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.
Câu hỏi/Đề bài:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} – 2x}}{x}}&{khi\,\,x \ne 0}\\a&{khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.\).
Tìm \(a\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Hướng dẫn:
Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( 0 \right)\).
Bước 3: Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\).
Bước 4: Giải phương trình \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\).
Lời giải:
Trên các khoảng \(\left( { – \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 2x}}{x}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { – \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( 0 \right) = a\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} – 2x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x – 2} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x – 2} \right) = 0 – 2 = – 2\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = 0\). Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a = – 2\).
Vậy với \(a = – 2\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).