Lời giải Thực hành 2 Bài 3. Hàm số liên tục (trang 82) – SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Gợi ý: Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
Câu hỏi/Đề bài:
Xét tính liên tục của hàm số \(y = \sqrt {x – 1} + \sqrt {2 – x} \) trên \(\left[ {1;2} \right]\).
Hướng dẫn:
Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
Bước 2: Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} f\left( x \right)\) và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right)\) với \(f\left( a \right)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} f\left( x \right)\) với \(f\left( b \right)\).
Bước 3: Kết luận.
Lời giải:
Đặt \(f\left( x \right) = \sqrt {x – 1} + \sqrt {2 – x} \)
Với mọi \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\), ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt {2 – x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {x – 1} + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2 – x} \\ & \,\,\,\,\, = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x – \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1} + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 2 – \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x} = \sqrt {{x_0} – 1} + \sqrt {2 – {x_0}} = f\left( {{x_0}} \right)\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt {2 – x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt {2 – x} } \right)\\ & = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x – \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 1} + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 2 – \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x} = \sqrt {1 – 1} + \sqrt {2 – 1} = 1 = f\left( 1 \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt {2 – x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt {2 – x} } \right)\\ & = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} x – \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} 1} + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} 2 – \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} x} = \sqrt {2 – 1} + \sqrt {2 – 2} = 1 = f\left( 2 \right)\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\).