Giải chi tiết Thực hành 1 Bài 2. Giới hạn của hàm số (trang 71, 72) – SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Gợi ý: Đưa về tính giới hạn của dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) thỏa mãn \({x_n} \to {x_0}\.
Câu hỏi/Đề bài:
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {2{x^2} – x} \right)\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}}\).
Hướng dẫn:
Đưa về tính giới hạn của dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) thỏa mãn \({x_n} \to {x_0}\) khi \(n \to + \infty \).
Lời giải:
a) Đặt \(f\left( x \right) = 2{x^2} – x\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} \to 3\) khi \(n \to + \infty \). Ta có:
\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {2x_n^2 – {x_n}} \right) = 2.\lim x_n^2 – \lim {x_n} = {2.3^2} – 3 = 15\).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {2{x^2} – x} \right) = 15\).
b) Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}}\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} \to – 1\) khi \(n \to + \infty \). Ta có:
\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{x_n^2 + 2{x_n} + 1}}{{{x_n} + 1}} = \lim \frac{{{{\left( {{x_n} + 1} \right)}^2}}}{{{x_n} + 1}} = \lim \left( {{x_n} + 1} \right) = \lim {x_n} + 1 = – 1 + 1 = 0\).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}} = 0\).