Bài 5 trang 60 Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Tính các tổng sau: a) S_n = 1 + 1/3 + 1/3^2 + . . . + 1/3^n; b) S_n = 9 + 99 + 999 + . . . + underbrace 99. . . 9_n chu so 9

Đề bài/câu hỏi:

Tính các tổng sau:

a) \({S_n} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + … + \frac{1}{{{3^n}}}\);

b) \({S_n} = 9 + 99 + 999 + … + \underbrace {99…9}_{n\,\,chu\,\,so\,\,9}\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) là: \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}}\).

Lời giải:

a) Tổng \({S_n}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{3}\) nên ta có:

\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}} = \frac{{1\left( {1 – {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right)}}{{1 – \frac{1}{3}}} = \frac{{1 – {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{\frac{2}{3}}} = \frac{3}{2}\left( {1 – \frac{1}{{{3^n}}}} \right) = \frac{3}{2} – \frac{1}{{{{2.3}^{n – 1}}}}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_n} = 9 + 99 + 999 + … + \underbrace {99…9}_{n\,\,chu\,\,so\,\,9} = \left( {10 – 1} \right) + \left( {100 – 1} \right) + \left( {1000 – 1} \right) + … + \left( {\underbrace {100…0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0} – 1} \right)\\ = \left( {10 + 100 + 1000 + … + \underbrace {100…0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}} \right) – n\end{array}\)

Tổng \(10 + 100 + 1000 + … + \underbrace {100…0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 10\) và công bội \(q = 10\) nên ta có:

\(10 + 100 + 1000 + … + \underbrace {100…0}_{n\,\,chu\,\,s\^o \,\,0} = \frac{{10\left( {1 – {{10}^n}} \right)}}{{1 – 10}} = \frac{{10 – {{10}^{n + 1}}}}{{ – 9}} = \frac{{{{10}^{n + 1}} – 10}}{9}\)

Vậy \({S_n} = \frac{{{{10}^{n + 1}} – 10}}{9} – n = \frac{{{{10}^{n + 1}} – 10 – 9n}}{9}\)