Bài 5 trang 19 Toán 11 tập 1 – Chân trời ság tạo: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) sin ^4α – cos ^4α = 1 – 2cos ^2α b) tan α + cot α = 1/sin α

Đề bài/câu hỏi:

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) \({\sin ^4}\alpha – {\cos ^4}\alpha = 1 – 2{\cos ^2}\alpha \)

b) \(\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\)

Hướng dẫn:

Dựa vào các hệ thức cơ bản của lượng giác để chứng minh

Lời giải:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^4}\alpha – {\cos ^4}\alpha = 1 – 2{\cos ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right) = 1 – 2{\cos ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha – {\cos ^2}\alpha – 1 + 2{\cos ^2}\alpha = 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha – 1 = 0\\ \Leftrightarrow 1 – 1 = 0\\ \Leftrightarrow 0 = 0\end{array}\)

Đẳng thức luôn đúng

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\end{array}\)

Đẳng thức luôn đúng