Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\. Hướng dẫn giải Bài 3 trang 60 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo – Bài 3. Cấp số nhân. Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân….
Đề bài/câu hỏi:
a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.
b) Viết sáu số xen giữa các số -2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 15 là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}},n \ge 2\).
Lời giải:
a) Giả sử số đo bốn góc của tứ giác lần lượt là \({u_1},{u_1}.q,{u_1}.{q^2},{u_1}.{q^3}\left( {{u_1},q > 0} \right)\).
Tổng số đo bốn góc của một tứ giác bằng \({360^ \circ }\) nên ta có phương trình:
\({u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} + {u_1}.{q^3} = 360 \Leftrightarrow {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + {q^3}} \right) = 360\left( 1 \right)\)
Số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất nên ta có phương trình:
\(\frac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}}} = 8 \Leftrightarrow {q^3} = 8 \Leftrightarrow q = 2\left( 2 \right)\)
Thế (2) vào (1) ta có: \({u_1}\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) = 360 \Leftrightarrow {u_1} = 24\)
Vậy số đo bốn góc của tứ giác đó là: \({24^ \circ };{24^ \circ }.2 = {48^ \circ };{24^ \circ }{.2^2} = {96^ \circ };{24^ \circ }{.2^3} = {192^ \circ }\).
b) Giả sử cấp số nhân đó có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).
Theo đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = – 2\\{u_8} = 256\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = – 2\\{u_1}.{q^7} = 256\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = – 2\\{q^7} = – 128\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = – 2\\q = – 2\end{array} \right.\).
Vậy ta cần viết thêm sáu số là:
\( – 2.\left( { – 2} \right) = 4;4.\left( { – 2} \right) = – 8;\left( { – 8} \right).\left( { – 2} \right) = 16;16.\left( { – 2} \right) = – 32;\left( { – 32} \right).\left( { – 2} \right) = 64;64.\left( { – 2} \right) = – 128\)
Số hạng thứ 15 của cấp số nhân là: \({u_{15}} = {u_1}.{q^{14}} = – 2.{\left( { – 2} \right)^{14}} = – 32768\).