Lời giải Luyện tập – Vận dụng 2 Bài 3. Hàm số liên tục (trang 73, 74, 75) – SGK Toán 11 Cánh diều. Gợi ý: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\.
Câu hỏi/Đề bài:
Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x – 1,\,\,x < 2\\ – x,\,\,x \ge 2\end{array} \right.\) có liên tục trên \(\mathbb{R}\) hay không?
Hướng dẫn:
– Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
– \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\)
Lời giải:
+) Với mỗi \({x_0} \in \left( { – \infty ;2} \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x – 1} \right) = {x_0} – 1 = f\left( {{x_0}} \right)\)
Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} \in \left( { – \infty ;2} \right).\)
+) Với mỗi \({x_0} \in \left( {2; + \infty } \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { – x} \right) = – {x_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} \in \left( {2; + \infty } \right).\)
+) Với mỗi \({x_0} = 2\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {x – 1} \right) = 2 – 1 = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { – x} \right) = – 2\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\) do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right).\)
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) gián đoạn tại \({x_0} = 2\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) không liên tục trên \(\mathbb{R}.\)