Đáp án Hoạt động 3 Bài 2. Các phép biến đổi lượng giác (trang 16, 17) – SGK Toán 11 Cánh diều. Tham khảo: Dựa vào công thức cộng sin.
Câu hỏi/Đề bài:
a) Sử dụng công thức cộng đối với sin và côsin, hãy tính \(\tan \left( {a + b} \right)\) theo tan a và tan b khi các biểu thức đều có nghĩa
b) Khi các biểu thức đều có nghĩa, hãy tính \(\tan \left( {a – b} \right)\) bằng cách biến đổi \(\tan \left( {a – b} \right) = \tan \left[ {a + \left( { – b} \right)} \right]\) và sử dụng công thức \(\tan \left( {a + b} \right)\) có được ở câu a.
Hướng dẫn:
Dựa vào công thức cộng sin, cos đã chứng minh ở bên trên để tính
Lời giải:
a) \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right)}} = \frac{{\sin a.\cos b + \cos a.\sin b}}{{\cos a.\cos b – \sin a.\sin b}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{\sin a.\cos b + \cos a.\cos b}}{{\cos a.\cos b – \sin a.\sin b}} = \frac{{\sin a.\cos b}}{{\cos a.\cos b – \sin a.\sin b}} + \frac{{\cos a.\sin b}}{{\cos a.\cos b – \sin a.\sin b}}\\ = \frac{{\frac{{\sin a.\cos b}}{{\cos a.\cos b}}}}{{\frac{{\cos a.\cos b – \sin a.\sin b}}{{\cos a.\cos b}}}} + \frac{{\frac{{\cos a.\sin b}}{{\cos a.\cos b}}}}{{\frac{{\cos a.\cos b – \sin a.\sin b}}{{\cos a.\cos b}}}} = \frac{{\tan a}}{{1 – \tan a.\tan b}} + \frac{{\tan b}}{{1 – \tan a.\tan b}}\\ = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 – \tan a.\tan b}}\end{array}\)
\( \Rightarrow \tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 – \tan a.\tan b}}\)
b)
\(\tan \left( {a – b} \right) = \tan \left( {a + \left( { – b} \right)} \right) = \frac{{\tan a + \tan \left( { – b} \right)}}{{1 – \tan a.\tan \left( { – b} \right)}} = \frac{{\tan a – \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\)