Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân \({S_n} = {u_1}. \frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}\. Hướng dẫn trả lời Bài 4 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 – Cánh Diều – Bài 1. Giới hạn của dãy số. Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1,…
Đề bài/câu hỏi:
Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.
a) Tính diện tích \({S_n}\) của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;
b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}\)
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}\).
Lời giải:
a) Diện tích hình vuông ban đầu bằng 1.1 = 1 (đvdt)
Vì người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới nên diện tích hình mới sẽ bằng một nửa hình trước.
Do đó ta có \({u_1} = {S_1} = 1,q = \frac{1}{2}\)
Vậy \({S_n} = 1.\frac{{1 – {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 – \frac{1}{2}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n – 1}}\)
b) \(S = \frac{1}{{1 – \frac{1}{2}}} = 2\)