Bài 4 trang 15 Toán 11 tập 1 – Cánh diều: Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau: a) sin α = √15 /4 với π /2 < α < π

Đề bài/câu hỏi:

Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)

b) \(\cos \alpha = – \frac{2}{3}\) với \( – \pi < \alpha < 0\)

c) \(\tan \alpha = 3\) với \( – \pi < \alpha < 0\)

d) \(\cot \alpha = – 2\) với \(0 < \alpha < \pi \)

Hướng dẫn:

Sử dụng các công thức sau :

\({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1\)

\(\tan \alpha .\cot \alpha \,\,\, = \,\,\,1\) với \(\cos \alpha \ne 0;\sin \alpha \ne 0\)

\(1 + {\tan ^2}\alpha \,\,\, = \,\,\,\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) với \(\cos \alpha \ne 0\)

\(1 + {\cot ^2}\alpha \,\,\, = \,\,\,\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) với \(\sin \alpha \ne 0\)

Lời giải:

a) Ta có \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1\)

mà \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) nên \({\cos ^2}\alpha + {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)^2}\,\,\, = \,1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{16}}\)

Lại có \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = – \frac{1}{4}\)

Khi đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha }} = – \sqrt {15} ;\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = – \frac{1}{{\sqrt {15} }}\)

b)

Ta có \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1\)

mà \(\cos \alpha = – \frac{2}{3}\) nên \({\sin ^2}\alpha + {\left( {\frac{{ – 2}}{3}} \right)^2}\,\,\, = \,1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{5}{9}\)

Lại có \( – \pi < \alpha < 0\) nên \(\sin \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha = – \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Khi đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha }} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)

c)

Ta có \(\tan \alpha = 3\) nên

\(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \,\,\, = \,1 + {3^2} = 10\,\, \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{10}}\)

Mà \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{9}{{10}}\)

Với \( – \pi < \alpha < 0\) thì \(\sin \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha = – \sqrt {\frac{9}{{10}}} \)

Với \( – \pi < \alpha < – \frac{\pi }{2}\) thì \(\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = – \sqrt {\frac{1}{{10}}} \)

và \( – \frac{\pi }{2} \le \alpha 0 \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {\frac{1}{{10}}} \)

d)

Ta có \(\cot \alpha = – 2\) nên

\(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = – \frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + co{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}\alpha \,\,\, = \,1 + {( – 2)^2} = 5\,\, \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{5}\)

Mà \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{4}{5}\)

Với \(0 < \alpha 0 \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt {\frac{1}{5}} \)

Với \(0 < \alpha 0 \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {\frac{4}{5}} \)

và \(\frac{\pi }{2} \le \alpha < \pi \) thì \(\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = – \sqrt {\frac{4}{5}} \)