Áp dụng định nghĩa đạo hàm. Trả lời Giải bài 9.44 trang 66 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài tập cuối Chương 9. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – x\;{\rm{khi }}\,x \le 0\\ – {x^3} + mx\;{\rm{khi }}\,…
Đề bài/câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – x\;{\rm{khi }}\,x \le 0\\ – {x^3} + mx\;{\rm{khi }}\,x > 0\end{array} \right.\), với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để hàm số có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Hướng dẫn:
Áp dụng định nghĩa đạo hàm
Lời giải:
Ta có \(f’\left( x \right) = 2x – 1\) với \(x \in \left( { – \infty \, & ,\,0} \right)\) và \(f’\left( x \right) = – 3{x^2} + m\) với \(x \in \left( {0\, & ,\, + \infty } \right)\). Do đó, hàm số có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi tồn tại \(f’\left( 0 \right)\).
Ta tính đạo hàm bên phải và bên trái điểm \(x = 0\):
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { – {x^2} + m} \right) = m\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( {x – 1} \right) = – 1\).
Vậy hàm số có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(m = – 1\).