Bài 7.27 trang 37 SBT toán 11 – Kết nối tri thức: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách a) Giữa hai đường thẳng AB và C’D’. b) Giữa đường thẳng AC

Đề bài/câu hỏi:

Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) có cạnh bằng \(a\). Tính theo \(a\) khoảng cách

a) Giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(C’D’\).

b) Giữa đường thẳng \(AC\) và \(\left( {A’B’C’D’} \right)\).

c) Từ điểm \(A\) đường thẳng \(B’D’\).

d) Giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(B’D’\).

Hướng dẫn:

a)

Bước 1: Xác định đường vuông góc chung hai đường thẳng

Bước 2: Tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng

b) Vì \(AC\parallel \left( {A’B’C’D’} \right)\) nên \(d\left( {AC,\left( {A’B’C’D’} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A’B’C’D’} \right)} \right) = AA’\).

c) Gọi \(O’\) là giao điểm của \(A’C’\) và \(B’D’\) ta có \(AO’ \bot B’D’\), theo định lý Pythagore áp dụng cho tam giác \(AA’O’\) vuông tại \(A’\) thì \(AO’ = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Do đó, \(d\left( {A,B’D’} \right) = AO’\).

d) Ta có \(d\left( {AC,B’D’} \right) = d\left( {AC,\left( {A’B’C’D’} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A’B’C’D’} \right)} \right) = AA’\).

Lời giải:

a) Vì \(BC’\) vuông góc với cả hai đường thẳng \(AB\)và \(C’D’\) nên \(d\left( {AB,C’D’} \right) = BC’ = a\sqrt 2 \).

b) Vì \(AC\parallel \left( {A’B’C’D’} \right)\) nên \(d\left( {AC,\left( {A’B’C’D’} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A’B’C’D’} \right)} \right) = AA’ = a\).

c) Gọi \(O’\) là giao điểm của \(A’C’\) và \(B’D’\) ta có \(AO’ \bot B’D’\), theo định lý Pythagore áp dụng cho tam giác \(AA’O’\) vuông tại \(A’\) thì \(AO’ = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Do đó, \(d\left( {A,B’D’} \right) = AO’ = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

d) Ta có \(d\left( {AC,B’D’} \right) = d\left( {AC,\left( {A’B’C’D’} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A’B’C’D’} \right)} \right) = AA’ = a\).