Áp dụng tính chất của lũy thừa, quy tắc tính lôgarit để đưa về cùng cơ số Biến đổi. Vận dụng kiến thức giải Giải bài 6.54 trang 22 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài tập cuối Chương 6. Giải các phương trình…
Đề bài/câu hỏi:
Giải các phương trình sau:
a) \({32^{\frac{{x + 5}}{{x – 7}}}} = 0,25 \cdot {128^{\frac{{x + 17}}{{x – 3}}}}\)
b) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x – 1} \right) = 1\).
Hướng dẫn:
Áp dụng tính chất của lũy thừa, quy tắc tính lôgarit để đưa về cùng cơ số
Biến đổi, quy về cùng cơ số
\({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow a = 1\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}0 < a \ne 1\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\).
\({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) > 0\)
Lời giải:
a) Điều kiện: \(x \ne 3,x \ne 7\). Khi đó, ta có:
\({32^{\frac{{x + 5}}{{x – 7}}}} = 0,25 \cdot {128^{\frac{{x + 17}}{{x – 3}}}} \Leftrightarrow {2^{{5^{\frac{{x + 5}}{{x – 7}}}}}} = {2^{ – 2}} \cdot {2^{7\frac{{x + 17}}{{x – 3}}}} \Leftrightarrow {2^{\frac{{5\left( {x + 5} \right)}}{{x – 7}}}} = {2^{ – 2 + \frac{{7\left( {x + 17} \right)}}{{x – 3}}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{5\left( {x + 5} \right)}}{{x – 7}} = – 2 + \frac{{7\left( {x + 17} \right)}}{{x – 3}}\)
\(\; \Leftrightarrow 5\left( {x + 5} \right)\left( {x – 3} \right) = – 2\left( {x – 7} \right)\left( {x – 3} \right) + 7\left( {x + 17} \right)\left( {x – 7} \right) \Leftrightarrow x = 10\)
Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 10\).
b) Điều kiện: \(x > 1\). Khi đó, ta có:
\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x – 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x\left( {x – 1} \right) = 1 \Leftrightarrow x\left( {x – 1} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0\).
Giải phương trình trên ta được hai nghiệm \({x_1} = – 1,{x_2} = 2\).
Chỉ có nghiệm \(x = 2\) thoả mãn điều kiện.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 2\).