Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho số lớn nhất. Trả lời Giải bài 5.9 trang 78 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài 15. Giới hạn của dãy số. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{2}{{{3^n}}},n \ge 1\)….
Đề bài/câu hỏi:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{2}{{{3^n}}},n \ge 1\). Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} – {u_n}.\)
a) Tính \({v_1} + {v_2} + … + {v_n}\) theo n.
b) Tính \({u_n}\) theo n.
c) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\)
Hướng dẫn:
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho số lớn nhất, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.
Lời giải:
Ta có: \({v_n} = \frac{2}{{{3^n}}}.\) Do đó, \({v_1} + {v_2} + … + {v_n} = 2\left( {\frac{{1 – \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}}}{{1 – \frac{1}{3}}}} \right) = 3.\left( {1 – \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}} \right)\)
Mặt khác:
\({v_1} + {v_2} + … + {v_n} = \left( {{u_2} – {u_1}} \right) + \left( {{u_3} – {u_2}} \right) + … + \left( {{u_{n + 1}} – {u_n}} \right) = {u_{n + 1}} – {u_1} = {u_{n + 1}} – 2\)
Vậy \({u_n} = 3\left( {1 – \frac{1}{{{3^n}}}} \right) + 2\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {3\left( {1 – \frac{1}{{{3^n}}}} \right) + 2} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{5.3}^n} – 1}}{{{3^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{5 – \frac{1}{{{3^n}}}}}{1} = 5\)