Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức Bài 5.9 trang 78 SBT toán 11 – Kết nối tri thức:...

Bài 5.9 trang 78 SBT toán 11 – Kết nối tri thức: Cho dãy số u_n với u_1 = 2, u_n + 1 = u_n + 2/3^n, n ≥ 1. Đặt v_n = u_n + 1 – u_n.

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho số lớn nhất. Trả lời Giải bài 5.9 trang 78 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài 15. Giới hạn của dãy số. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{2}{{{3^n}}},n \ge 1\)….

Đề bài/câu hỏi:

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{2}{{{3^n}}},n \ge 1\). Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} – {u_n}.\)

a) Tính \({v_1} + {v_2} + … + {v_n}\) theo n.

b) Tính \({u_n}\) theo n.

c) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\)

Hướng dẫn:

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho số lớn nhất, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

Lời giải:

Ta có: \({v_n} = \frac{2}{{{3^n}}}.\) Do đó, \({v_1} + {v_2} + … + {v_n} = 2\left( {\frac{{1 – \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}}}{{1 – \frac{1}{3}}}} \right) = 3.\left( {1 – \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}} \right)\)

Mặt khác:

\({v_1} + {v_2} + … + {v_n} = \left( {{u_2} – {u_1}} \right) + \left( {{u_3} – {u_2}} \right) + … + \left( {{u_{n + 1}} – {u_n}} \right) = {u_{n + 1}} – {u_1} = {u_{n + 1}} – 2\)

Vậy \({u_n} = 3\left( {1 – \frac{1}{{{3^n}}}} \right) + 2\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {3\left( {1 – \frac{1}{{{3^n}}}} \right) + 2} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{5.3}^n} – 1}}{{{3^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{5 – \frac{1}{{{3^n}}}}}{1} = 5\)