Bài 5.46 trang 89 SBT toán 11 – Kết nối tri thức: Tính các giới hạn sau: a) mathop lim limits_x -> – ∇ x(x + 1) (2x – 1) /5x^3 + x + 7

Đề bài/câu hỏi:

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{x(x + 1)(2x – 1)}}{{5{x^3} + x + 7}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ({x^3} – 1)(2 – {x^5})\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^2} + {x^2} + 1}} – x} \right)\).

Hướng dẫn:

+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = a < 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}{v_n} = – \infty \).

Đối với những biểu thức chứa hiệu của căn, chúng ta dùng phương pháp nhân liên hợp. Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

Lời giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{x(x + 1)(2x – 1)}}{{5{x^3} + x + 7}} = \frac{2}{5}.\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ({x^3} – 1)(2 – {x^5}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^8}\left( {1 – \frac{1}{{{x^3}}}} \right)\left( {\frac{2}{{{x^5}}} – 1} \right) = – \infty \).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^2} + {x^2} + 1}} – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} + {x^2} + 1} \right)}^2}}} + x\,\sqrt[3]{{{x^3} + {x^2} + 1}} + {x^2}}} = \frac{1}{3}.\)