Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n. Hướng dẫn trả lời Giải bài 5.3 trang 78 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài 15. Giới hạn của dãy số. Cho \({u_n} = \frac{{1 + a + {a^2} + … + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + … + {b^n}}}\…
Đề bài/câu hỏi:
Cho \({u_n} = \frac{{1 + a + {a^2} + … + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + … + {b^n}}}\) với a, b là các số thực thỏa mãn \(\left| a \right| < 1,\left| b \right| < 1\). Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\)
Hướng dẫn:
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.
Lời giải:
Ta có: \({u_n} = \frac{{1 + a + {a^2} + … + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + … + {b^n}}} = \frac{{\frac{{1 – {a^{n + 1}}}}{{1 – a}}}}{{\frac{{1 – {b^{n + 1}}}}{{1 – b}}}} = \frac{{1 – b}}{{1 – a}}.\frac{{1 – {a^{n + 1}}}}{{1 – {b^{n + 1}}}}\)
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{{1 – b}}{{1 – a}}\)