Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng và công thức tính tổng của cấp số cộng \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1}. Giải và trình bày phương pháp giải Giải bài 2.42 trang 42 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài tập cuối Chương 2. Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp…
Đề bài/câu hỏi:
Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210.
A. 40
B. 30
C. 20
D. 10.
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng và công thức tính tổng của cấp số cộng \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right]\).
Lời giải:
Đáp án D
Gọi số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của cấp số cộng này là \({u_2},{u_9},\,{u_{44}}\).
\(\begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + d,\\{u_9} = {u_1} + 8d = ({u_1} + d) + 7d = {u_2} + 7d\\{u_{44}} = {u_1} + 43d = ({u_1} + d) + 42d = {u_2} + 43d\end{array}\)
Vì 3 số này là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta có: \({u_2}{u_{44}} = u_9^2\)
Và tổng của 3 số đó là 217 nên \({u_2} + {u_9} + {u_{44}} = 217\).
Vậy ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_9} + {u_{44}} = 217\\{u_2}{u_{44}} = u_9^2\end{array} \right.\)
Nên \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_2} + 7d + {u_{42}} + 42d = 217\\{u_2}\left( {{u_2} + 42d} \right) = \left( {{u_2} + 7d} \right)_{}^2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 7\\d = 4\end{array} \right.(do\,\,d \ne 0)\)
Do đó \({u_1} = {u_2} – d = 3\) và \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right] = n(2n + 1)\)
Tổng của chúng là 210 nên \(210 = n(2n + 1)\).
Phương trình \(210 = n(2n + 1)\) có nghiệm nguyên dương là \(n = 10\).