Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức Bài 2.3 trang 33 SBT toán 11 – Kết nối tri thức:...

Bài 2.3 trang 33 SBT toán 11 – Kết nối tri thức: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) u_n = n/2n + 1; b) u_n = n^2 + n – 1; c) u_n = – n^2 + 1

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho \({u_n} \le M\. Lời giải Giải bài 2.3 trang 33 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài 5. Dãy số. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:…

Đề bài/câu hỏi:

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) \({u_n} = \frac{n}{{2n + 1}};\)

b) \({u_n} = {n^2} + n – 1;\)

c) \({u_n} = – {n^2} + 1\).

Hướng dẫn:

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho \({u_n} \le M\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho \({u_n} \ge m\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại m, M sao cho: \(m \le {u_n} \le M\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Lời giải:

a) Ta có: \({u_n} = \frac{n}{{2n + 1}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {2n + 1} \right) – \frac{1}{2}}}{{2n + 1}} = \frac{1}{2} – \frac{{\frac{1}{2}}}{{2n + 1}} = \frac{1}{2} – \frac{1}{{2\left( {2n + 1} \right)}}\)

Suy ra \(\frac{1}{3} \le {u_n} \le \frac{1}{2}\) với mọi \(n \ge 1\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn

b) Ta có: \(n – 1 \ge 0\) với mọi \(n \ge 1\). Do đó, \({u_n} = {n^2} + n – 1 \ge 1\) với mọi \(n \ge 1\). Do đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi 1 với mọi \(n \ge 1\).

c) Ta có: \({u_n} = – {n^2} + 1 \le 1\) với mọi \(n \ge 1\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn trên bởi 1 với mọi \(n \ge 1\).