Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để đưa về phương trình lượng giác cơ bản rồi giải. Phân tích và giải Giải bài 1.63 trang 30 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài tập cuối Chương 1. Giải các phương trình sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin 5x + \cos 5x = – 1\);
b) \(\cos 3x – \cos 5x = \sin x\);
c) \(2{\cos ^2}x + \cos 2x = 2\);
d) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\).
Hướng dẫn:
Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để đưa về phương trình lượng giác cơ bản rồi giải.
Lời giải:
a) \(\sin 5x + \cos 5x = – 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {5x + \frac{\pi }{4}} \right) = – 1 \Leftrightarrow \sin \left( {5x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x + \frac{\pi }{4} = \frac{{ – \pi }}{4} + k2\pi \\5x + \frac{\pi }{4} = \pi + \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ – \pi }}{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\x = \frac{\pi }{5} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(\cos 3x – \cos 5x = \sin x \Leftrightarrow 2\sin 4x\sin x = \sin x \Leftrightarrow \sin x\left( {2\sin 4x – 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\2\sin 4x – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\\sin 4x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\4x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\4x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{2}\\4x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(2{\cos ^2}x + \cos 2x = 2 \Leftrightarrow \left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right) + \cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2\cos 2x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
d) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\)
\( \Leftrightarrow 1 – \frac{1}{2}{\sin ^2}2x – \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}2x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)