Áp dụng công thức cộng: \(\sin (a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\). Phân tích, đưa ra lời giải Giải bài 1.14 trang 11 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài 2. Công thức lượng giác. Chứng minh rằng…
Đề bài/câu hỏi:
Chứng minh rằng
a) \(\cos a – \sin a = \sqrt 2 \cos \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\);
b) \(\sin a + \sqrt 3 \cos a = 2\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\).
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức cộng:
\(\sin (a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\).
\(\cos (a + b) = \cos a\cos b – \sin a\sin b\).
Lời giải:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt 2 \cos \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos a\cos \frac{\pi }{4} – \sin a\sin \frac{\pi }{4}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt 2 \left( {\cos a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} – \sin a.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt 2 .\cos a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} – \sqrt 2 .\sin a.\frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \cos a – \sin a.\end{array}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}{\rm{VT}} = 2\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\left( {\sin a\cos \frac{\pi }{3} + \cos a\sin \frac{\pi }{3}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\left( {\sin a.\frac{1}{2} + \cos a.\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\sin a.\frac{1}{2} + 2\cos a.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sin a + \sqrt 3 \cos a.\end{array}\)