Trả lời Câu 9 Bài tập cuối chương 1 (trang 32, 33) – SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo. Tham khảo: Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải phương trình.
Câu hỏi/Đề bài:
Số nghiệm của phương trình \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;8\pi } \right]\) là
A. 14.
B. 15.
C. 16.
D. 17.
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải phương trình: Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = \pi – \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin \alpha = m\).
Đặc biệt: \(\sin u = \sin v \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = \pi – v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Lời giải:
\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = \pi – \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ – \pi }}{{12}} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
TH1: Vì \(x \in \left[ {0;8\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \frac{{ – \pi }}{{12}} + k\pi \le 8\pi \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{97}}{{12}}\)
Mà k là số nguyên nên \(k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\)
Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{11\pi }}{{12}};\frac{{23\pi }}{{12}};\frac{{35\pi }}{{12}};\frac{{47\pi }}{{12}};\frac{{59\pi }}{{12}};\frac{{71\pi }}{{12}};\frac{{83\pi }}{{12}};\frac{{95\pi }}{{12}}} \right\}\)
TH2: Vì \(x \in \left[ {0;8\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le 8\pi \Leftrightarrow \frac{{ – 1}}{4} \le k \le \frac{{31}}{4}\)
Mà k là số nguyên nên \(k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7} \right\}\)
Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{4};\frac{{5\pi }}{4};\frac{{9\pi }}{4};\frac{{13\pi }}{4};\frac{{17\pi }}{4};\frac{{21\pi }}{4};\frac{{25\pi }}{4};\frac{{29\pi }}{4}} \right\}\)
Vậy có tất cả 16 nghiệm của phương trình \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;8\pi } \right]\) .
Chọn C