Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để tìm a, b. Gợi ý giải Giải bài 9 trang 91 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1 – Bài 3. Hàm số liên tục. Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax + b\;khi\;…
Đề bài/câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax + b\;khi\;\left| x \right| < 2\\x\left( {2 – x} \right)\;\;\;\;\,khi\;\left| x \right| \ge 2\end{array} \right.\). Tìm giá trị của các tham số a và b sao cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để tìm a, b: Cho hàm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) = 4 – 2a + b\)số\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)\(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Lời giải:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {x\left( {2 – x} \right)} \right] \) \( = 2\left( {2 – 2} \right) \) \( = 0 \) \( = f\left( 2 \right)\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) \) \( = {2^2} + 2a + b \) \( = 2a + b + 4\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} f\left( x \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} \left[ {x\left( {2 – x} \right)} \right] \) \( = \left( { – 2} \right)\left( {2 + 2} \right) \) \( = – 8 \) \( = f\left( { – 2} \right)\)
Hàm số \(y \) \( = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi hàm số \(y \) \( = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x \) \( = 2\) và \(x \) \( = – 2\).
Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( { – 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + 2a + b = 0\\4 – 2a + b = – 8\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = – 4\\ – 2a + b = – 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = – 8\end{array} \right.\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {x\left( {2 – x} \right)} \right] = 2\left( {2 – 2} \right) = 0 = f\left( 2 \right)\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) = {2^2} + 2a + b = 2a + b + 4\)