Bài 9 trang 76 SBT toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số: a) 0, 7 = 0, 777. . . ; b) 1, 45 = 1, 454545. . .

Đề bài/câu hỏi:

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số:

a) \(0,\left( 7 \right) = 0,777…\);

b) \(1,\left( {45} \right) = 1,454545…\)

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về tổng của cấp số nhân lùi vô hạn để viết số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số: Cấp số nhân vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội q thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là: \(S = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} + … = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}\)

Lời giải:

a) \(0,\left( 7 \right) = 0,777… = 0,7 + 0,07 + 0,007 + … = 0,7 + 0,7.\frac{1}{{10}} + 0,7.\frac{1}{{{{10}^2}}} + …\)

Số 0,777… là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 0,7 và công bội bằng \(\frac{1}{{10}}\). Do đó, \(0,\left( 7 \right) = \frac{{0,7}}{{1 – \frac{1}{{10}}}} = \frac{7}{9}\)

b) \(1,\left( {45} \right) = 1,454545… = 1 + 0,45 + 0,0045 + 0,000045 + …\)

\( = 1 + 0,45 + 0,45.\frac{1}{{100}} + 0,45.\frac{1}{{{{100}^2}}} + …\)

\(0,45 + 0,45.\frac{1}{{100}} + 0,45.\frac{1}{{{{100}^2}}} + …\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 0,45 và công bội bằng \(\frac{1}{{100}}\). Do đó, \(1,\left( {45} \right) = 1 + \frac{{0,45}}{{1 – \frac{1}{{100}}}} = 1 + \frac{5}{{11}} = \frac{{16}}{{11}}\)