Sử dụng kiến thức về tính liên tục của hàm số sơ cấp để xét tính liên tục các hàm số. Hướng dẫn trả lời Giải bài 6 trang 90 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1 – Bài 3. Hàm số liên tục. Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) \(f\left( x \right) = \frac{{\tan x}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\);…
Đề bài/câu hỏi:
Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = \frac{{\tan x}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\);
b) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sin x}}\).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về tính liên tục của hàm số sơ cấp để xét tính liên tục các hàm số:
+ Hàm số căn thức \(y = \sqrt {P\left( x \right)} \), hàm số lượng giác \(y = \tan x\) liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng (với P(x) là đa thức).
+ Hàm số phân thức \(y = \frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\) liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng (với P(x) và Q(x) là đa thức).
Lời giải:
a) Điều kiện: \(1 – {x^2} > 0 \Leftrightarrow – 1 < x < 1\). Hàm số \(y = \sqrt {1 – {x^2}} \) xác định và liên tục trên \(\left( { – 1;1} \right)\). Do \(\left( { – 1;1} \right) \subset \left( {\frac{{ – \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên hàm số \(y = \tan x\) xác định và liên tục trên \(\left( { – 1;1} \right)\).
Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\tan x}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\) liên tục trên \(\left( { – 1;1} \right)\).
b) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sin x}}\) xác định khi \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Do đó, hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sin x}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {k\pi ;\left( {k + 1} \right)\pi } \right)\) với k là số nguyên.