Sử dụng kiến thức về góc nhị diện: Cho hai nửa mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{Q_1}} \right)\. Phân tích và giải Giải bài 4 trang 73 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 2 – Bài 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc nhị diện. Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat {ABC} \…
Đề bài/câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat {ABC} \) \( = {30^0}\), \(AC \) \( = a,SA \) \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Tính số đo góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).
Hướng dẫn:
+ Sử dụng kiến thức về góc nhị diện: Cho hai nửa mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{Q_1}} \right)\) có chung bờ là đường thẳng d. Hình tạo bởi \(\left( {{P_1}} \right)\), \(\left( {{Q_1}} \right)\) và d được gọi là góc nhị diện tạo bởi \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{Q_1}} \right)\), kí hiệu \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\).
+ Sử dụng kiến thức về góc phẳng nhị diện để tính: Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện, có hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện.
Lời giải:
Vẽ \(AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \) \( \Rightarrow SA \bot BC\), mà \(AH \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SHA} \right)\)
Do đó, \(SH \bot BC\) nên góc SHA là góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\)
Tam giác AHC vuông tại C nên \(AH \) \( = AC.\sin \widehat {ACB} \) \( = a.\sin {60^0} \) \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot AH \) \( \Rightarrow \widehat {SAH} \) \( = {90^0}\), mà \(AH \) \( = SA\left( { = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\) nên tam giác SAH vuông cân tại A. Do đó, \(\widehat {SHA} \) \( = {45^0}\)