Bài 4 trang 27 SBT toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1: Cho hàm số y = sin x với x ∈ [ – 2π ;2π ]. a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho

Đề bài/câu hỏi:

Cho hàm số \(y = \sin x\) với \(x \in \left[ { – 2\pi ;2\pi } \right]\).

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của \(x \in \left[ {\frac{{ – 5\pi }}{3};\frac{{7\pi }}{3}} \right]\) sao cho \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right) = – 1\).

c) Tìm các giá trị của \(x \in \left[ {\frac{{ – 9\pi }}{8};\frac{{7\pi }}{8}} \right]\) sao cho \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) > 0\).

d) Tìm m để có bốn giá trị \(\alpha \in \left[ { – 2\pi ;2\pi } \right]\) phân biệt thỏa mãn \(\sin \alpha = m\).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về đồ thị hàm số \(y = \sin x\) để giải.

Lời giải:

a) Ta có đồ thị hàm số \(y = \sin x\) với \(x \in \left[ { – 2\pi ;2\pi } \right]\):

b) Đặt \(\frac{\pi }{3} – x = t\). Vì \(\frac{{ – 5\pi }}{3} \le x \le \frac{{7\pi }}{3} \Rightarrow – 2\pi \le t \le 2\pi \).

Từ đồ thị hàm số trong phần a, ta có: \(\sin t = – 1\) khi và chỉ khi \(t = \frac{{ – \pi }}{2}\) hoặc \(t = \frac{{3\pi }}{2}\)

Do đó, \(\frac{\pi }{3} – x = \frac{{ – \pi }}{2}\) hoặc \(\frac{\pi }{3} – x = \frac{{3\pi }}{2}\). Suy ra: \(x = \frac{{5\pi }}{6}\) hoặc \(x = \frac{{ – 7\pi }}{6}\)

c) Đặt \(2x + \frac{\pi }{4} = t\). Vì \(\frac{{ – 9\pi }}{8} \le x \le \frac{{7\pi }}{8} \Rightarrow – 2\pi \le t \le 2\pi \).

Từ đồ thị hàm số trong phần a, ta có: \(\sin t > 0\) khi và chỉ khi \( – 2\pi < t < – \pi \) hoặc \(0 < t < \pi \)

Suy ra: \( – 2\pi < 2x + \frac{\pi }{4} < – \pi \) hoặc \(0 < 2x + \frac{\pi }{4} < \pi \)

Do đó, \(\frac{{ – 9\pi }}{8} \le x \le \frac{{ – 5\pi }}{8}\) hoặc \(\frac{{ – \pi }}{8} \le x \le \frac{{3\pi }}{8}\)

d) Có bốn giá trị \(\alpha \in \left[ { – 2\pi ;2\pi } \right]\) phân biệt thỏa mãn \(\sin \alpha = m\) khi và chỉ khi đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \sin \alpha \) tại bốn điểm. Từ đồ thị hàm số ở trên, điều này xảy ra khi và chỉ khi \( – 1 < m < 0\) hoặc \(0 < m < 1\).