Bài 3 trang 34 SBT toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) sin ^2 x + π /8 – sin ^2 x – π /8 = √2 /2sin 2x

Đề bài/câu hỏi:

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) \({\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) – {\sin ^2}\left( {x – \frac{\pi }{8}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x\);

b) \({\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x – y} \right) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x – y} \right)\).

Hướng dẫn:

a) + Sử dụng kiến thức công thức tổng thành tích để chứng minh: \(\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha – \beta }}{2};\sin \alpha – \sin \beta = 2\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha – \beta }}{2}\)

+ Sử dụng kiến thức về công thức góc nhân đôi để chứng minh: \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \)

b) Sử dụng kiến thức về công thức biến đổi tích thành tổng để chứng minh \(\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha – \beta } \right)} \right]\)

Sử dụng kiến thức về công thức cộng để chứng minh \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \)

Lời giải:

a) \({\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) – {\sin ^2}\left( {x – \frac{\pi }{8}} \right) \) \( = \left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) – \sin \left( {x – \frac{\pi }{8}} \right)} \right]\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) + \sin \left( {x – \frac{\pi }{8}} \right)} \right]\)

\( = 2\sin \frac{\pi }{8}\cos x.2\sin x\cos \frac{\pi }{8} \) \( = 2\sin \frac{\pi }{4}\cos x\sin x \) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x\)

b) \({\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x – y} \right) \) \( = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x – y} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2\cos x\cos y\cos \left( {x – y} \right) – {\cos ^2}\left( {x – y} \right) \) \( = {\cos ^2}x – {\sin ^2}y\)

Ta có: \(2\cos x\cos y\cos \left( {x – y} \right) – {\cos ^2}\left( {x – y} \right) \) \( = \cos \left( {x – y} \right)\left[ {2\cos x\cos y – \cos \left( {x – y} \right)} \right]\)

\( = \cos \left( {x – y} \right)\left( {\cos x\cos y – \sin x\sin y} \right) \) \( = \cos \left( {x – y} \right)\cos \left( {x + y} \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\cos 2x + \cos 2y} \right) \) \( = \frac{1}{2}\left( {1 – 2{{\sin }^2}y + 2{{\cos }^2}x – 1} \right) \) \( = {\cos ^2}x – {\sin ^2}y\)

Vậy \({\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x – y} \right) \) \( = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x – y} \right)\)