Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \(\lim {u_n} = a. Hướng dẫn trả lời Giải bài 2 trang 93 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1 – Bài tập cuối chương 3. Cho các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\lim {u_n} = 2,…
Đề bài/câu hỏi:
Cho các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\lim {u_n} = 2,\lim \left( {{u_n} – {v_n}} \right) = 4\). Tìm \(\lim \frac{{3{u_n} – {v_n}}}{{{u_n}{v_n} + 3}}\).
Hướng dẫn:
+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \(\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b\) và c là hằng số: \(\lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = a \pm b\), \(\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.a\), \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b\), \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: \(\lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0\) với k là số nguyên dương, \(\lim c = c\) (c là hằng số)
Lời giải:
Ta có: \(\lim \left( {{u_n} – {v_n}} \right) = 4 \Rightarrow \lim {u_n} – \lim {v_n} = 4 \Rightarrow \lim {v_n} = \lim {u_n} – 4 = 2 – 4 = – 2\)
Do đó, \(\lim \frac{{3{u_n} – {v_n}}}{{{u_n}{v_n} + 3}} = \frac{{3\lim {u_n} – \lim {v_n}}}{{\lim {u_n}\lim {v_n} + 3}} = \frac{{3.2 – \left( { – 2} \right)}}{{2.\left( { – 2} \right) + 3}} = \frac{8}{{ – 1}} = – 8\)