Bài 2 trang 90 SBT toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1: Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau tại điểm x = 2: a) f x = 6 – 2x;;;khi;x ≥ 22x^2 – 6;;khi;x < 2 .

Đề bài/câu hỏi:

Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau tại điểm \(x = 2\):

a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}6 – 2x\;\;\;khi\;x \ge 2\\2{x^2} – 6\;\;khi\;x < 2\end{array} \right.\);

b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} – 4}}{{x – 2}}\;\;\;khi\;x \ne 2\\\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;khi\;x = 2\end{array} \right.\).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để xét tính liên tục của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\), chứa điểm 2.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {6 – 2x} \right) = 6 – 2.2 = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {2{x^2} – 6} \right) = {2.2^2} – 6 = 2\), \(f\left( 2 \right) = 6 – 2.2 = 2\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = f\left( x \right) = 2\) nên hàm số f(x) liên tục tại điểm \(x = 2\).

b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\), chứa điểm 2.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 4}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 2 + 2 = 4\);

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) \ne f\left( 2 \right)\left( {do\;4 \ne 0} \right)\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \(x = 2\).