Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo Bài 2 trang 45 SBT toán 11 – Chân trời sáng tạo...

Bài 2 trang 45 SBT toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 2: Cho hàm số f x = 2x^3 – x^2 + 2x + 1 có đồ thị (C). Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Sử dụng kiến thức về ý nghĩa hình học của đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. Vận dụng kiến thức giải Giải bài 2 trang 45 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 2 – Bài tập cuối chương 7. Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} – {x^2} + 2x + 1\) có đồ thị (C)….

Đề bài/câu hỏi:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} – {x^2} + 2x + 1\) có đồ thị (C). Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về ý nghĩa hình học của đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến:

Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến \({M_0}T\) với đồ thị (C) của hàm số tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).

Tiếp tuyến \({M_0}T\) có phương trình là: \(y – f\left( {{x_0}} \right) = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right)\)

Lời giải:

Gọi tiếp tuyến của đồ thị (C) là d và tiếp điểm là \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).

Hệ số góc của d là:

\(f’\left( {{x_0}} \right) = 6x_0^2 – 2{x_0} + 2 = 6\left( {x_0^2 – \frac{1}{3}{x_0} + \frac{1}{3}} \right) = 6\left( {x_0^2 – 2.{x_0}.\frac{1}{6} + \frac{1}{{36}} + \frac{{11}}{{36}}} \right)\)\( = 6{\left( {{x_0} – \frac{1}{6}} \right)^2} + \frac{{11}}{6}\)

Ta có: \(6{\left( {{x_0} – \frac{1}{6}} \right)^2} + \frac{{11}}{6} \ge \frac{{11}}{6}\) nên \(f’\left( {{x_0}} \right) \ge \frac{{11}}{6}\)

Nên hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị với (C) nhỏ nhất bằng \(\frac{{11}}{6}\) khi \({x_0} – \frac{1}{6} = 0 \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{6}\).

Với \({x_0} = \frac{1}{6}\) thì \(f\left( {\frac{1}{6}} \right) = 2.{\left( {\frac{1}{6}} \right)^3} – {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2} + 2.\frac{1}{6} + 1 = \frac{{71}}{{54}}\)

Do đó, tiếp tuyến d cần tìm là: \(y = f’\left( {\frac{1}{6}} \right)\left( {x – \frac{1}{6}} \right) + f\left( {\frac{1}{6}} \right) = \frac{{11}}{6}\left( {x – \frac{1}{6}} \right) + \frac{{71}}{{54}} = \frac{{11}}{6}x + \frac{{109}}{{108}}\)

Vậy tiếp tuyến cần tìm là: \(y = \frac{{11}}{6}x + \frac{{109}}{{108}}\)