Sử dụng kiến thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính. Hướng dẫn giải Giải bài 2 trang 158 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1 – Bài 2. Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm. Người ta thống kê tốc độ của một số xe ô tô di chuyển qua một trạm kiểm soát trên…
Đề bài/câu hỏi:
Người ta thống kê tốc độ của một số xe ô tô di chuyển qua một trạm kiểm soát trên đường cao tốc trong một khoảng thời gian ở bảng sau:
Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Hướng dẫn:
+ Sử dụng kiến thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:
Gọi n là cỡ mẫu
Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa trung vị, \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa trung vị,
\(C = {n_1} + {n_2} + … + {n_{m – 1}}\)
Khi đó, trung vị của mẫu số liệu là: \({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} – C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right)\)
+ Sử dụng kiến thức về xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_2}\), cũng chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_1}\), ta làm như sau:
Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ nhất, \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất, \(C = {n_1} + {n_2} + … + {n_{m – 1}}\)
Khi đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: \({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} – C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right)\)
Để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_3}\), ta làm như sau:
Giả sử nhóm \(\left[ {{u_j};{u_{j + 1}}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ ba, \({n_j}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba, \(C = {n_1} + {n_2} + … + {n_{j – 1}}\)
Khi đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: \({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} – C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} – {u_j}} \right)\)
Lời giải:
Cỡ mẫu \(n = 78\)
Gọi \({x_1},{x_2},…,{x_{78}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1},…,{x_5} \in \left[ {75;80} \right),{x_6},…,{x_{17}} \in \left[ {80;85} \right),{x_{18}},…,{x_{35}} \in \left[ {85;90} \right),{x_{36}},…,{x_{59}} \in \left[ {90;95} \right),\)
\({x_{60}},…,{x_{78}} \in \left[ {95;100} \right)\).
Do cỡ mẫu \(n = 78\) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{39}} + {x_{40}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {90;95} \right)\).
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_2} = 90 + \frac{{\frac{{78}}{2} – \left( {5 + 12 + 18} \right)}}{{24}}.\left( {95 – 90} \right) = \frac{{545}}{6}\)
Do cỡ mẫu \(n = 78\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \({x_{20}}\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {85;90} \right)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_1} = 85 + \frac{{\frac{{78}}{4} – \left( {5 + 12} \right)}}{{18}}.\left( {90 – 85} \right) = \frac{{3085}}{{36}}\)
Do cỡ mẫu \(n = 78\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \({x_{59}}\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {90;95} \right)\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_3} = 90 + \frac{{\frac{{3.78}}{4} – \left( {5 + 12 + 18} \right)}}{{24}}.\left( {95 – 90} \right) = \frac{{4\;555}}{{48}}\)