Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để xét tính liên tục của hàm số. Lời giải bài tập, câu hỏi Giải bài 11 trang 91 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1 – Bài 3. Hàm số liên tục. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 1\)….
Đề bài/câu hỏi:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 1\). Với mỗi số thực m, gọi Q(m) là số giao điểm của đường thẳng \(d:y = m\) với đường tròn (C). Viết công thức xác định hàm số \(y = Q\left( m \right)\). Hàm số này không liên tục tại các điểm nào?
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để xét tính liên tục của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Lời giải:
\(Q\left( m \right) = \left\{ \begin{array}{l}0\;khi\;m 2\\1\;khi\;m = 0\;hay\;m = 2\\2\;khi\;0 < m < 2\end{array} \right.\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{m \to {0^ + }} Q\left( m \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{m \to {0^ – }} Q\left( m \right)\) nên hàm số trên không liên tục tại điểm \(m = 0\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{m \to {2^ + }} Q\left( m \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{m \to {2^ – }} Q\left( m \right)\) nên hàm số trên không liên tục tại điểm \(m = 2\).
Vậy hàm số Q(m) không liên tục tại các điểm \(m = 0\), \(m = 2\).