Sử dụng kiến thức về tổng của cấp số nhân lùi vô hạn để tính độ dài đường gấp khúc. Phân tích và giải Giải bài 11 trang 76 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1 – Bài 1. Giới hạn của dãy số. Tam giác \(O{A_1}{A_2}\) vuông cân tại \({A_2}\) có cạnh huyền \(O{A_1}\) bằng a. Bên ngoài tam giác \(O{A_1}{A_2}\),…
Đề bài/câu hỏi:
Tam giác \(O{A_1}{A_2}\) vuông cân tại \({A_2}\) có cạnh huyền \(O{A_1}\) bằng a. Bên ngoài tam giác \(O{A_1}{A_2}\), vẽ tam giác \(O{A_2}{A_3}\) vuông cân tại \({A_3}\). Tiếp theo, bên ngoài tam giác \(O{A_2}{A_3}\), vẽ tam giác \(O{A_3}{A_4}\) vuông cân tại \({A_4}\). Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình 2). Tính độ dài đường gấp khúc \({A_1}{A_2}{A_3}{A_4}…\)
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về tổng của cấp số nhân lùi vô hạn để tính độ dài đường gấp khúc: Cấp số nhân vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội q thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là: \(S = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} + … = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}\)
Lời giải:
Ta có các góc \(\widehat {{A_1}O{A_2}},\widehat {{A_2}O{A_3}},\widehat {{A_3}O{A_4}},…\) đều bằng \({45^0}\).
Lại có: \({A_1}{A_2} = O{A_2} = O{A_1}.\cos {45^0} = a\frac{{\sqrt 2 }}{2}\);
\({A_2}{A_3} = O{A_3} = O{A_2}.\cos {45^0} = a\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = a{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\);
\({A_3}{A_4} = O{A_4} = O{A_3}.\cos {45^0} = a{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = a{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^3}\);…
Vậy độ dài các đoạn thẳng \({A_1}{A_2},{A_2}{A_3},{A_3}{A_4}…\) tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng \(a\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và công bội bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Do đó, độ dài đường gấp khúc \({A_1}{A_2}{A_3}{A_4}…\) là: \(l = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{{1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2 – \sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\left( {2 + \sqrt 2 } \right) = a\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\)