Sử dụng kiến thức về hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác. Hướng dẫn giải Giải bài 1 trang 34 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1 – Bài tập cuối chương 1. Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính giá trị của các biểu thức…
Đề bài/câu hỏi:
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\sin 2\alpha \);
b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\);
c) \[\tan \left( {2\alpha – \frac{\pi }{4}} \right)\].
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\sin 2\alpha \);
b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\);
c) \(\tan \left( {2\alpha – \frac{\pi }{4}} \right)\).
Hướng dẫn:
+ Sử dụng kiến thức về hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
+ Sử dụng kiến thức về góc nhân đôi để tính \(\tan 2\alpha = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 – {{\tan }^2}\alpha }};\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \)
+ Sử dụng kiến thức về công thức cộng để tính: \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \); \(\tan \left( {\alpha – \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha – \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha \tan \beta }}\)
Lời giải:
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \cos \alpha < 0\)
Do đó, \(\cos \alpha = – \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } = – \sqrt {1 – {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}} = – \frac{{\sqrt 7 }}{4}\) a) \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2.\frac{3}{4}.\frac{{ – \sqrt 7 }}{4} = \frac{{ – 3\sqrt 7 }}{8}\);
b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{3} – \sin \alpha \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{ – \sqrt 7 }}{4}.\frac{1}{2} – \frac{3}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{ – \sqrt 7 – 3\sqrt 3 }}{8}\);
c) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{3}{4}}}{{\frac{{ – \sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{ – 3\sqrt 7 }}{7}\), \(\tan 2\alpha = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 – {{\tan }^2}\alpha }} = 3\sqrt 7 \)
\(\tan \left( {2\alpha – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan 2\alpha – \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan 2\alpha .\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{3\sqrt 7 – 1}}{{1 + 3\sqrt 7 .1}} = \frac{{{{\left( {3\sqrt 7 – 1} \right)}^2}}}{{\left( {3\sqrt 7 – 1} \right)\left( {1 + 3\sqrt 7 } \right)}} = \frac{{32 – 3\sqrt 7 }}{{31}}\).