Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Ta chứng minh \(MN\. Hướng dẫn giải Giải bài 54 trang 117 sách bài tập toán 11 – Cánh diều – Bài 6. Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối. Cho khối tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính:…
Đề bài/câu hỏi:
Cho khối tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính:
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).
b) Chiều cao và thể tích của khối tứ diện đều \(ABCD\).
c) Côsin của góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).
d) Côsin của số đo góc nhị diện \(\left[ {C,AB,D} \right]\).
Hướng dẫn:
a) Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Ta chứng minh \(MN\) là đường vuông góc chưng của hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\), từ đó khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng \(MN\).
b) Gọi \(E\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {BCD} \right)\). Ta chứng minh được rằng \(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều \(BCD\). Từ đó tính được \(BE\), sử dụng định lí Pythagore, ta tính được chiều cao \(AE\) của khối chóp.
Công thức tính thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}Sh\), với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao của khối chóp.
c) Chứng minh rằng góc giữa \(AB\) và \(\left( {BCD} \right)\) là góc \(\widehat {ABE}\), do đó để tính cosin của góc giữa \(AB\) và \(\left( {BCD} \right)\), ta cần tính \(\cos \widehat {ABE}\).
d) Chứng minh rằng góc \(\widehat {CMD}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {C,AB,D} \right]\). Do vậy, để tính côsin của số đo góc nhị diện \(\left[ {C,AB,D} \right]\), ta tính \(\cos \widehat {CMD}\), và sử dụng định lí cos để tính giá trị này.
Lời giải:
a) Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Do \(ABCD\) là tứ diện đều, ta suy ra các tam giác \(ABC\), \(ABD\), \(ACD\), \(BCD\) là các tam giác đều.
Tam giác \(ABC\) đều có \(M\) là trung điểm của \(AB\), nên ta có \(CM \bot AB\). Chứng minh tương tự ta có \(DM \bot AB\).
Như vậy, do \(CM \bot AB\), \(DM \bot AB\) nên \(\left( {CDM} \right) \bot AB\), điều này suy ra \(MN \bot AB\). Chứng minh tương tự, ta cũng suy ra \(MN \bot CD\).
Vậy \(MN\) là đường vuông góc chưng của hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\), từ đó khoảng cách giữa \(AB\) và \(CD\) là đoạn thẳng \(MN\).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), đường cao \(CM\) nên ta có \(CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Tương tự, ta cũng có \(DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Vì \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên \(CN = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}\).
Tam giác \(CMN\)vuông tại \(N\), nên\(MN = \sqrt {C{M^2} – C{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
b) Gọi \(E\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {BCD} \right)\). Ta có \(AE\) là đường cao của tứ diện \(ABCD\).
Do \(ABCD\) là tứ diện đều, nên \(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(BCD\). Do \(BCD\) là tam giác đều, nên \(E\) cũng là trọng tâm của tam giác \(BCD\). Mà \(N\) là trung điểm của \(CD\), nên ta có \(BE = \frac{2}{3}BN\).
Tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\), đường cao \(BN\) nên ta có \(BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Suy ra \(BE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{2}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Tam giác \(ABE\) vuông tại \(E\), nên \(AE = \sqrt {A{B^2} – B{E^2}} = \sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Vậy chiều cao của tứ diện đều là \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Do đáy \(BCD\) là tam giác đều cạnh \(a\), nên diện tích đáy của tứ diện là \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy thể tích của khối tứ diện \(ABCD\) là \(V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
c) Do \(E\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {BCD} \right)\), nên góc giữa \(AB\) và \(\left( {BCD} \right)\) là góc \(\widehat {ABE}\).
Tam giác \(ABE\) vuông tại \(E\), nên ta có \(\cos \widehat {ABE} = \frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy côsin góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
d) Theo câu a, ta có \(CM \bot AB\) và \(DM \bot AB\), nên \(\widehat {CMD}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {C,AB,D} \right]\).
Áp dụng định lí cos trong tam giác \(CMD\), ta có
\(\cos \widehat {CMD} = \frac{{C{M^2} + M{D^2} – C{D^2}}}{{2CM.MD}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} – {a^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{3}\).
Vậy côsin của số đo góc nhị diện \(\left[ {C,AB,D} \right]\) bằng \(\frac{1}{3}\).