Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 SBT Toán 11 - Cánh diều Bài 5 trang 45 SBT toán 11 – Cánh diều: Trong các...

Bài 5 trang 45 SBT toán 11 – Cánh diều: Trong các dãy số u_n được xác định như sau, dãy số giảm là: A. u_n = 3n – 1/n + 1 B. u_n = n^3 C

Sử dụng các cách xác định dãy số tăng hay giảm: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Cách 1. Vận dụng kiến thức giải Giải bài 5 trang 45 sách bài tập toán 11 – Cánh diều – Bài 1. Dãy số. Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau, dãy số giảm là:…

Đề bài/câu hỏi:

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau, dãy số giảm là:

A. \({u_n} = \frac{{3n – 1}}{{n + 1}}\)

B. \({u_n} = {n^3}\)

C. \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\)

D. \({u_n} = \sqrt n \)

Hướng dẫn:

Sử dụng các cách xác định dãy số tăng hay giảm: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Cách 1: Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} – {u_n}\). Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm khi \(H < 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Cách 2: Nếu \({u_n} > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\). Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm khi \(T < 1\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Lời giải:

a) Xét hiệu:

\(H = {u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{3\left( {n + 1} \right) – 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} – \frac{{3n – 1}}{{n + 1}} = \frac{{3n + 2}}{{n + 2}} – \frac{{3n – 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {3n + 2} \right)\left( {n + 1} \right) – \left( {3n – 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {3{n^2} + 5n + 2} \right) – \left( {3{n^2} + 5n – 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{4}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{3n – 1}}{{n + 1}}\) không là dãy số giảm.

b) Xét hiệu:

\(H = {u_{n + 1}} – {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^3} – {n^3} = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 – {n^3} = 3{n^2} + 3n + 1\).

Do \(3{n^2} + 3n + 1 > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {n^3}\) không là dãy số giảm.

c) Ta nhận thấy \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}} > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{3^{\left( {n + 1} \right) + 1}}}}:\frac{1}{{{3^{n + 1}}}} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{3^{n + 2}}}} = \frac{1}{3}\)

Do \(T = \frac{1}{3} < 1\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\) là dãy số giảm.

d) Ta nhận thấy \({u_n} = \sqrt n > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{\sqrt n }} = \sqrt {\frac{{n + 1}}{n}} = \sqrt {1 + \frac{1}{n}} \)

Do \(T = \sqrt {1 + \frac{1}{n}} > \sqrt 1 = 11\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\) không là dãy số giảm.

Đáp án đúng là C.