Nhận xét rằng hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { – \infty , 2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\). Trả lời Giải bài 45 trang 83 sách bài tập toán 11 – Cánh diều – Bài tập cuối Chương 3. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} – 4}}{{x – 2}}{\rm{ }}\left( {x \ne 2} \right)\\a{\rm{ }}\left( {x…
Đề bài/câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} – 4}}{{x – 2}}{\rm{ }}\left( {x \ne 2} \right)\\a{\rm{ }}\left( {x = 2} \right)\end{array} \right.\).
Tìm \(a\) để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Hướng dẫn:
Nhận xét rằng hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { – \infty ,2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\). Do đó để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số liên tục tại \(x = 2\).
Lời giải:
Với \(x \ne 2\), ta có \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 4}}{{x – 2}}\) là hàm phân thức nên nó liên tục trên từng khoảng xác định, tức \(f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { – \infty ,2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\).
Do đó để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số liên tục tại \(x = 2\). Điều này tương đương với \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 4}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4\), và \(f\left( 2 \right) = a\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow a = 4\).