Thay hàm \(g\left( t \right) = 45{t^2} – {t^3}\) và giá trị \(g\left( {10} \right)\. Hướng dẫn trả lời Giải bài 25 trang 76 sách bài tập toán 11 – Cánh diều – Bài 2. Giới hạn của hàm số. Sau khi phát hiện một bệnh dịch,…
Đề bài/câu hỏi:
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là \(g\left( t \right) = 45{t^2} – {t^3}\) (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm \({t_1}\), \({t_2}\) là \({V_{tb}} = \frac{{g\left( {{t_2}} \right) – g\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} – {t_1}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) – g\left( {10} \right)}}{{t – 10}}\) và cho biết ý nghĩa kết quả tìm được.
Hướng dẫn:
Thay hàm \(g\left( t \right) = 45{t^2} – {t^3}\) và giá trị \(g\left( {10} \right)\) vào biểu thức \(\frac{{g\left( t \right) – g\left( {10} \right)}}{{t – 10}}\) và dùng các định lí về giới hạn hàm số để tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) – g\left( {10} \right)}}{{t – 10}}\).
Lời giải:
Ta có \(g\left( {10} \right) = {45.10^2} – {10^3}\). Như vậy
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) – g\left( {10} \right)}}{{t – 10}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{45{t^2} – {t^3} – \left( {{{45.10}^2} – {{10}^3}} \right)}}{{t – 10}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{45\left( {{t^2} – {{10}^2}} \right) – \left( {{t^3} – {{10}^3}} \right)}}{{t – 10}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{45\left( {t – 10} \right)\left( {t + 10} \right) – \left( {t – 10} \right)\left( {{t^2} + 10t + {{10}^2}} \right)}}{{t – 10}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \left[ {45\left( {t + 10} \right) – \left( {{t^2} + 10t + {{10}^2}} \right)} \right] = 45\left( {10 + 10} \right) – \left( {{{10}^2} + {{10}^2} + {{10}^2}} \right) = 600\)
Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ gia tăng người bệnh ngay tại thời điểm \(t = 10\) (ngày) là 600 người/ngày.