Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(\frac{{f\left( x \right) – 3}}{{2f\left( x \right) + 1}}\) cho \(f\left( x \right)\). Phân tích và giải Giải bài 24 trang 76 sách bài tập toán 11 – Cánh diều – Bài 2. Giới hạn của hàm số. Cho số thực \(a\) và hàm số \(f\left( x \right)\…
Đề bài/câu hỏi:
Cho số thực \(a\) và hàm số \(f\left( x \right)\) thoả mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = – \infty \). Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) – 3}}{{2f\left( x \right) + 1}} = \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn:
Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(\frac{{f\left( x \right) – 3}}{{2f\left( x \right) + 1}}\) cho \(f\left( x \right)\), rồi sử dụng các định lí về giới hạn hàm số.
Lời giải:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) – 3}}{{2f\left( x \right) + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)\left[ {1 – \frac{3}{{f\left( x \right)}}} \right]}}{{f\left( x \right)\left[ {2 + \frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{1 – \frac{3}{{f\left( x \right)}}}}{{2 + \frac{1}{{f\left( x \right)}}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 1 – \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{3}{{f\left( x \right)}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 2 + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{1}{{f\left( x \right)}}}}\)
\( = \frac{{1 – 0}}{{2 + 0}} = \frac{1}{2}\).