Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 SBT Toán 11 - Cánh diều Bài 21 trang 50 SBT toán 11 – Cánh diều: Cho ba...

Bài 21 trang 50 SBT toán 11 – Cánh diều: Cho ba số 1/b + c, 1/c + a, 1/a + b theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a^2, b^2, c^2

Sử dụng tính chất của cấp số cộng: Với dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\. Hướng dẫn giải Giải bài 21 trang 50 sách bài tập toán 11 – Cánh diều – Bài 2. Cấp số cộng. Cho ba số \(\frac{1}{{b + c}}\), \(\frac{1}{{c + a}}\), \(\frac{1}{{a + b}}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng….

Đề bài/câu hỏi:

Cho ba số \(\frac{1}{{b + c}}\), \(\frac{1}{{c + a}}\), \(\frac{1}{{a + b}}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \({a^2}\), \({b^2}\), \({c^2}\) theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.

Hướng dẫn:

Sử dụng tính chất của cấp số cộng: Với dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thì \({u_{n + 2}} – {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} – {u_n} = d\)

Lời giải:

Vì ba số \(\frac{1}{{b + c}}\), \(\frac{1}{{c + a}}\), \(\frac{1}{{a + b}}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng, nên ta có:

\(\frac{1}{{a + b}} – \frac{1}{{c + a}} = \frac{1}{{c + a}} – \frac{1}{{b + c}} \Leftrightarrow \frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} = \frac{2}{{c + a}} \Leftrightarrow \frac{{b + c + a + b}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}} = \frac{2}{{c + a}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{a + c + 2b}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}} = \frac{2}{{\left( {c + a} \right)}} \Leftrightarrow \left( {a + c + 2b} \right)\left( {a + c} \right) = 2\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a + c} \right)^2} + 2b\left( {a + c} \right) = 2\left( {ac + {b^2} + ab + bc} \right)\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} + 2ac + 2ab + 2bc = 2ac + 2{b^2} + 2ab + 2bc \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2{b^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} – {b^2} = {b^2} – {c^2}\)

Suy ra ba số \({a^2}\),\({b^2}\), \({c^2}\) theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.

Bài toán được chứng minh.