Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} – {u_n}\). Để dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng thì \(H > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Hướng dẫn giải Giải bài 12 trang 46 sách bài tập toán 11 – Cánh diều – Bài 1. Dãy số. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{an + 2}}{{n + 1}}\) với \(a\) là số thực….
Đề bài/câu hỏi:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{an + 2}}{{n + 1}}\) với \(a\) là số thực. Tìm \(a\) để dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Hướng dẫn:
Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} – {u_n}\). Để dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng thì \(H > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Giải bất phương trình với ẩn \(a\), rồi kết luận.
Lời giải:
Xét hiệu:
\(H = {u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 2}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} – \frac{{an + 2}}{{n + 1}} = \frac{{an + a + 2}}{{n + 2}} – \frac{{an + 2}}{{n + 1}}\)
\( = \frac{{\left( {an + a + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} – \frac{{\left( {an + 2} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{\left[ {a{n^2} + \left( {2a + 2} \right)n + a + 2} \right] – \left[ {a{n^2} + \left( {2a + 2} \right)n + 4} \right]}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{a – 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)
Để dãy số tăng, ta cần \(H > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Ta có: \(H > 0 \Leftrightarrow \frac{{a – 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0 \Leftrightarrow a – 2 > 0 \Leftrightarrow a > 2\).
Vậy với \(a > 2\) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{an + 2}}{{n + 1}}\) là dãy số tăng.