Lời giải Luyện tập 2 Bài 6. Phép vị tự (trang 27, 28, 29) – Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức. Tham khảo: Phương trình đường tròn tâm I (a, b), bán kính R là: \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ a}}} \right)^2}\.
Câu hỏi/Đề bài:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25.
a) Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C).
b) Tìm tâm I’ và bán kính R’ của đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2.
c) Viết phương trình của (C’).
Hướng dẫn:
Phương trình đường tròn tâm I (a,b), bán kính R là: \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ a}}} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ b}}} \right)^2}\; = {\rm{ }}{{\rm{R}}^2}.\)
Lời giải:
a) Ta có (C): \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}25\) hay \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}{5^2}.\)
Do đó, đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.
b) Đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2 nên tâm I’ của đường tròn (C’) là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép vị tự V(A, 2) và bán kính R’ của đường tròn (C’) bằng 2 lần bán kính R của đường tròn (C) hay R’ = 2 . 5 = 10.
Ta có: \(\overrightarrow {AI} = \left( {1 – 3;\,2 – 5} \right) = \left( { – 2;\, – 3} \right)\)
Vì I’ là ảnh của I qua phép vị tự V(A, 2) nên \(\overrightarrow {AI’} = 2\overrightarrow {AI} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I’}} – {x_A} = 2.\left( { – 2} \right)}\\{{y_{I’}} – {y_A} = 2.\left( { – 3} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I’}} – 3 = – 4}\\{{y_{I’}} – 5 = – 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I’}} = – 1}\\{{y_{I’}} = – 1}\end{array}} \right.\)
Vậy I'(- 1; – 1) và R’ = 10.
c) Phương trình đường tròn (C’): \({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}{10^2}\;\)hay \({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}100.\)