Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo Khám phá 1 Bài 5 (trang 25, 26, 27) Chuyên đề học...

Khám phá 1 Bài 5 (trang 25, 26, 27) Chuyên đề học tập Toán 11: Tìm phép biến hình biến Δ BAC thành Δ BA’C’ (Hình 1). b) Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định (Hình 2)

Đáp án Khám phá 1 Bài 5. Phép quay (trang 25, 26, 27) – Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo. Gợi ý: Phép biến hình f trong mặt phẳng là một quy tắc cho tương ứng với mỗi điểm M với duy.

Câu hỏi/Đề bài:

a) Tìm phép biến hình biến \(\Delta \)BAC thành \(\Delta \)BA’C’ (Hình 1).

b) Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định (Hình 2).

Gọi f là quy tắc ứng với mỗi điểm M trùng O cho ta điểm O và ứng với điểm M khác O cho ta một điểm M’ xác định như sau:

– Dùng compa vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.

– Trên (C) chọn điểm M’ sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng 60°.

Quy tắc f có phải là một phép biến hình không?

Hãy vẽ điểm M’ theo quy tắc trên nếu thay góc 60° bởi góc -30°.

Hướng dẫn:

Phép biến hình f trong mặt phẳng là một quy tắc cho tương ứng với mỗi điểm M với duy nhất một điểm M’. Điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f, kí hiệu \(M’ = f(M)\).

Lời giải:

a) Để tìm phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’, ta tìm phép biến hình biến điểm B thành chính nó, biến điểm A thành điểm A’, biến điểm C thành điểm C’.

Với \(\;A\left( {-7;{\rm{ }}4} \right),{\rm{ }}B\left( {-2;{\rm{ }}3} \right),{\rm{ }}C\left( {-5;{\rm{ }}0} \right),{\rm{ }}A’\left( {-3;{\rm{ }}-2} \right),{\rm{ }}C’\left( {1;{\rm{ }}0} \right),\) ta có:

\(\overrightarrow {BA} = \left( { – 5;1} \right),\overrightarrow {BA’} = \left( { – 1; – 5} \right),\overrightarrow {AA’} = \left( {4; – 6} \right)\)

Suy ra \(BA = BA’ = \sqrt {26} ;\,AA’ = 2\sqrt {13} \)

Khi đó \(\cos \widehat {ABA’} = \frac{{B{A^2} + BA{‘^2} – AA{‘^2}}}{{2.BA.BA’}} = \frac{{26 + 26 – {{\left( {2\sqrt {13} } \right)}^2}}}{{2.\sqrt {26} .\sqrt {26} }} = 0\)

Vì vậy \(\left( {BA,BA’} \right) = \widehat {ABA’} = 90^\circ \)

Suy ra phép biến hình biến đoạn thẳng BA thành đoạn thẳng BA’ là phép biến hình biến điểm B thành điểm B, biến điểm A thành điểm A’ sao cho BA’ = BA và góc lượng giác \(\left( {BA,{\rm{ }}BA’} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}90^\circ {\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Thực hiện tương tự, ta được \(BC = BC’ = 3\sqrt 2 ;\,\left( {BC,B{C’}} \right) = 90^\circ \)

Suy ra phép biến hình biến đoạn thẳng BC thành đoạn thẳng BC’ là phép biến hình biến điểm B thành điểm B, biến điểm C thành điểm C’ sao cho BC’ = BC và góc lượng giác \(\left( {BC,{\rm{ }}BC’} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}90^\circ {\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2), ta thu được phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’ là phép biến hình biến điểm B thành chính nó, biến điểm A thành điểm A’ sao cho và góc lượng giác \(\left( {BA,{\rm{ }}BA’} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}90^\circ \) và biến điểm C thành điểm C’ sao cho \(BC'{\rm{ }} = {\rm{ }}BC\) và góc lượng giác \(\left( {BC,{\rm{ }}BC’} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}90^\circ .\)

b) Đặt \({\rm{ }}f\left( M \right){\rm{ }} = {\rm{ }}M’.\) Trong đó, M’ là điểm nằm trên (C) sao cho góc lượng giác \(\left( {OM,{\rm{ }}OM’} \right)\) bằng 60°.

Ta thấy f là một quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M đều xác định duy nhất một điểm M’.

Vậy f là một phép biến hình.

Cách vẽ điểm M’ theo quy tắc trên với góc lượng giác (OM, OM’) bằng -30°:

– Dùng compa vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.

– Trên (C) chọn điểm M’ sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng -30°.

Ta có hình vẽ sau: