Bài 4 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây: Phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(-x; -y)

Đề bài/câu hỏi:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây:

– Phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(-x; -y);

– Phép biến hình g biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(2x; 2y).

Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình? Giải thích.

Hướng dẫn:

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách (không làm thay đổi khoảng cách) giữa 2 điểm bất kì.

Lời giải:

Lấy hai điểm bất kì \(M({x_1};{\rm{ }}{y_1});\,\,N({x_2};{\rm{ }}{y_2}).\)

Suy ra \(MN = \sqrt {{{\left( {{{\rm{x}}_2} – {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{y}}_2} – {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \)

– Ta có ảnh của M, N qua phép biến hình f lần lượt là \(M'(-{x_1};{\rm{ }}-{y_1}),{\rm{ }}N'(-{x_2};{\rm{ }}-{y_2}).\)

Khi đó \({\rm{M’N’}} = \sqrt {{{\left( { – {{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + {{\left( { – {{\rm{y}}_2} + {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{{\rm{x}}_2} – {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{y}}_2} – {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} = MN\)

Vì vậy f là một phép dời hình.

– Ta có ảnh của M, N qua phép biến hình g lần lượt là \(M'(2{x_1};{\rm{ }}2{y_1}),{\rm{ }}N'(2{x_2};{\rm{ }}2{y_2}).\)

Khi đó \({\rm{M’N’}} = \sqrt {{{\left( {2{{\rm{x}}_2} – 2{{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {2{{\rm{y}}_2} – 2{{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} = \sqrt {4{{\left( {{{\rm{x}}_2} – {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + 4{{\left( {{{\rm{y}}_2} – {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \)

\( = 2\sqrt {{{\left( {{{\rm{x}}_2} – {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{y}}_2} – {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} = 2MN \ne MN\)

Vì vậy g không phải là một phép dời hình.

Vậy trong hai phép biến hình đã cho, phép dời hình là f.