Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \. Phân tích, đưa ra lời giải Giải bài 3 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo – Bài 2. Phép tịnh tiến – Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo. Cho phép tịnh tiến \({T_{\vec u}}\) trong đó \(\vec u = \left( {3;5} \right)\…
Đề bài/câu hỏi:
Cho phép tịnh tiến \({T_{\vec u}}\) trong đó \(\vec u = \left( {3;5} \right)\)
a) Tìm ảnh của các điểm \(\;A\left( {-3;{\rm{ }}4} \right),{\rm{ }}B\left( {2;{\rm{ }}-7} \right)\;\)qua \({T_{\vec u}}\)
b) Biết rằng M’(2; 6) là ảnh của điểm M qua \({T_{\vec u}}\). Tìm tọa độ của điểm M.
c) Tìm ảnh của đường thẳng \(d:{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) qua \({T_{\vec u}}\).
Hướng dẫn:
Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM’} = \overrightarrow u \).
Nếu \(M'(x’;y’)\) là ảnh của \(M(x;y)\) qua phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\) , \(\overrightarrow u = \left( {a;\,b} \right)\) thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = x + a\\y’ = y + b\end{array} \right.\)
Lời giải:
a) Đặt \(A’\left( {x’;y’} \right) = {T_{\vec u}}\left( A \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {A{A’}} = \vec u\) mà \(\overrightarrow {AA’} = \left( {x’ + 3;y’ – 4} \right)\)
Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x’}} + 3 = 3}\\{{\rm{y’}} – 4 = 5}\end{array}} \right.\)
Vì vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x’}} = 0}\\{{\rm{y’}} = 9}\end{array}} \right.\)
Suy ra tọa độ A’(0; 9).
Đặt \(B’\left( {x”;y”} \right) = {T_{\vec u}}\left( B \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {BB’} = {\rm{\vec u}}\) mà \(\overrightarrow {BB’} = \left( {x” – 2\;;\;{\rm{y”}} + 7} \right)\)
Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x”}} – 2 = 3}\\{{\rm{y”}} + 7 = 5}\end{array}} \right.\)
Vì vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x”}} = 5}\\{{\rm{y”}} = – 2}\end{array}} \right.\)
Suy ra tọa độ B’(5; -2).
Vậy ảnh của các điểm A, B qua \({T_{\vec u}}\) lần lượt là các điểm A’(0; 9), B’(5; -2).
b) Gọi \(M({x_M};{\rm{ }}{y_M}).\)
Theo đề, ta có \(M’ = {T_{\vec u}}\left( M \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {MM’} = {\rm{\vec u}}\), mà \(\overrightarrow {MM’} = \left( {2 – {{\rm{x}}_{\rm{M}}}\;;\;6 – {{\rm{y}}_{\rm{M}}}} \right)\)
Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 – {{\rm{x}}_{\rm{M}}} = 3}\\{6 – {{\rm{y}}_{\rm{M}}} = 5}\end{array}} \right.\)
Vì vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\rm{x}}_{\rm{M}}} = – 1}\\{{{\rm{y}}_{\rm{M}}} = 1}\end{array}} \right.\)
Vậy tọa độ M(-1; 1) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) Chọn điểm \(N\left( {-1;{\rm{ }}1} \right) \in d:{\rm{ }}4x-3y + 7 = 0.\)
Gọi \(N’\left( {x’;{\rm{ }}y’} \right)\) lần lượt là ảnh của N qua \({T_{\vec u}}\)
Ta có \({T_{\vec u}}\left( N \right) = N’\), suy ra \(\overrightarrow {N{N’}} = \vec u\) với \(\overrightarrow {NN’} = \left( {x’ + 1;y’ – 1} \right)\)
Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x’}} + 1 = 3}\\{{\rm{y’}} – 1 = 5}\end{array}} \right.\)
Vì vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x’}} = 2}\\{{\rm{y’}} = 6}\end{array}} \right.\)
Suy ra tọa độ N’(2; 6).
Đường thẳng \(d:{\rm{ }}4x-3y + 7 = 0\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_d} = \left( {4; – 3} \right)\).
Gọi d’ là ảnh của d qua \({T_{\vec u}}\) do đó d’ song song hoặc trùng với d nên d’ nhận \({\vec n_d} = \left( {4; – 3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có d’ là đường thẳng đi qua \(M’\left( {2;{\rm{ }}6} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_d} = \left( {4; – 3} \right)\) nên có phương trình là:
\(4\left( {x-2} \right)-3\left( {y-6} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x-3y + 10 = 0.\)
Vậy ảnh của đường thẳng \(d:4x-3y + 7 = 0\) qua \({T_{\vec u}}\) là đường thẳng \(d’:4x-3y + 10 = 0.\)