Giải PT dạng \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \) (1) Bước 1. Hướng dẫn cách giải/trả lời Giải bài 6.28 trang 21 sách bài tập toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai. Giải các phương trình sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt { – {x^2} + 77x – 212} = \sqrt {{x^2} + x – 2} \)
b) \(\sqrt {{x^2} + 25x – 26} = \sqrt {x – {x^2}} \)
c) \(\sqrt {4{x^2} + 8x – 37} = \sqrt { – {x^2} – 2x + 3} \)
Hướng dẫn:
Giải PT dạng \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \) (1)
Bước 1: Bình phương 2 vế của (1) ta được PT \((a – d){x^2} + (b – 2de)x + (c – {e^2}) = 0\) (2)
Bước 2: Giải PT (2)
Bước 3: Thay các nghiệm vừa tìm được ở bước 2 vào PT (1) để tìm ra các nghiệm thỏa mãn rồi kết luận
Lời giải:
a) \(\sqrt { – {x^2} + 77x – 212} = \sqrt {{x^2} + x – 2} \) (1)
Bình phương 2 vế của (1) ta được:
\( – {x^2} + 77x – 212 = {x^2} + x – 2\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} – 76x + 210 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3\) hoặc x = 35
+) Thay x = 3 vào PT (1): \(\sqrt { – {3^2} + 77.3 – 212} = \sqrt {{3^2} + 3 – 2} \Leftrightarrow \sqrt {10} = \sqrt {10} \) , thỏa mãn
+) Thay x = 35 vào PT (1): \(\sqrt { – {{35}^2} + 77.35 – 212} = \sqrt {{{35}^2} + 35 – 2} \Leftrightarrow \sqrt {1258} = \sqrt {1258} \), thỏa mãn
Vậy PT (1) có 2 nghiệm là x = 3; x = 35
b) \(\sqrt {{x^2} + 25x – 26} = \sqrt {x – {x^2}} \) (2)
Bình phương 2 vế của (2) ta được:
\({x^2} + 25x – 26 = x – {x^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 24x – 26 = 0 \Leftrightarrow x = – 13\) hoặc x = 1
+) Thay x = -13 vào PT (2): \(\sqrt {{{( – 13)}^2} + 25.( – 13) – 26} = \sqrt {( – 13) – {{( – 13)}^2}} \Leftrightarrow \sqrt { – 182} = \sqrt { – 182} \), vô lí
+) Thay x = 1 vào PT (2): \(\sqrt {{1^2} + 25.1 – 26} = \sqrt {1 – {1^2}} \Leftrightarrow \sqrt 0 = \sqrt 0 \), thỏa mãn
Vậy PT (2) có nghiệm duy nhất x = 1
c) \(\sqrt {4{x^2} + 8x – 37} = \sqrt { – {x^2} – 2x + 3} \) (3)
Bình phương 2 vế của (3) ta được:
\(4{x^2} + 8x – 37 = – {x^2} – 2x + 3 \Leftrightarrow 5{x^2} + 10x – 40 = 0 \Leftrightarrow x = – 4\) hoặc x = 2
+) Thay x = -4 vào PT (3): \(\sqrt {4.{{( – 4)}^2} + 8.( – 4) – 37} = \sqrt { – {{( – 4)}^2} – 2.( – 4) + 3} \Leftrightarrow \sqrt { – 5} = \sqrt { – 5} \), vô lí
+) Thay x = 2 vào PT (3): \(\sqrt {{{4.2}^2} + 8.2 – 37} = \sqrt { – {2^2} – 2.2 + 3} \Leftrightarrow \sqrt { – 5} = \sqrt { – 5} \), vô lí
Vậy PT (3) vô nghiệm