Bài 6.22 trang 18 SBT toán 10 – Kết nối tri thức: Giải các bất phương trình sau: a) 3x^2 – 36x + 108 > 0 b) – x^2 + 2x – 2 ≥ 0

Đề bài/câu hỏi:

Giải các bất phương trình sau:

a) \(3{x^2} – 36x + 108 > 0\)

b) \( – {x^2} + 2x – 2 \ge 0\)

c) \({x^4} – 3{x^2} + 2 \le 0\)

d) \(\frac{1}{{{x^2} – x + 1}} \le \frac{1}{{2{x^2} + x + 2}}\)

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai \(f(x) = 3{x^2} – 36x + 108\) có a = 3 > 0, ∆’ = 0 nên f(x) có nghiệm kép x = 6 và f(x) = \(3{x^2} – 36x + 108\) > 0 với mọi \(x \ne 6\)

Vậy tập nghiệm của BPT \(3{x^2} – 36x + 108 > 0\) là \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}6\} \)

b) Tam thức bậc hai \(g(x) = – {x^2} + 2x – 2 \ge 0\) có a = -1 < 0, ∆’ = -1 < 0 nên g(x) < 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy BPT \( – {x^2} + 2x – 2 \ge 0\) vô nghiệm

c) Đặt t = x² (t ≥ 0) khi đó ta thu được BPT \({t^2} – 3t + 2 \le 0\)

Tam thức bậc hai \(h(x) = {t^2} – 3t + 2\) có a = 1 > 0 và có hai nghiệm là \({x_1} = 1,{x_2} = 2\) nên ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, ta được nghiệm của BPT \({t^2} – 3t + 2 \le 0\)là 1 ≤ t ≤ 2

Suy ra 1 ≤ x² ≤ 2 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 1\\{x^2} \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le – 1\end{array} \right.\\ – \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – \sqrt 2 \le x \le – 1\\1 \le x \le \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của BPT \({x^4} – 3{x^2} + 2 \le 0\) là \(\left[ { – \sqrt 2 ; – 1} \right] \cup \left[ {1;\sqrt 2 } \right]\)

d) \(\frac{1}{{{x^2} – x + 1}} \le \frac{1}{{2{x^2} + x + 2}}\)(*)

Ta có: Tam thức bậc hai \({x^2} – x + 1\) và \(2{x^2} + x + 2\) đều có a > 0, ∆ > 0 nên \({x^2} – x + 1\) > 0; \(2{x^2} + x + 2\) > 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Khi đó (*) \( \Leftrightarrow {x^2} – x + 1 \ge 2{x^2} + x + 2\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 \le 0\)

Tam thức bậc hai \(k(x) = {x^2} + 2x + 1\) có a = 1 > 0, ∆’ = 0 và có nghiệm kép x = -1

Suy ra k(x) > 0 với mọi x ≠ -1 và k(x) = 0 với x = -1

Vậy tập nghiệm của BPT \(\frac{1}{{{x^2} – x + 1}} \le \frac{1}{{2{x^2} + x + 2}}\) là {-1}