Trả lời Giải bài 4.64 trang 70 sách bài tập toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài tập cuối Chương 4. Cho tứ giác lồi ABCD, không có hai cạnh nào song song. Gọi E,…
Đề bài/câu hỏi:
Cho tứ giác lồi \(ABCD,\) không có hai cạnh nào song song. Gọi \(E,\,\,F\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,\,\,CD.\) Gọi \(K,\,\,L,\,\,M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AF,\,\,CE,\,\,BF,\,\,DE.\)
a) Chứng minh rằng tứ giác \(KLMN\) là một hình bình hành.
b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(KM,\,\,LN.\) Chứng minh rằng \(E,\,\,I,\,\,F\) thẳng hàng.
Lời giải:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {FC} = \left( {\overrightarrow {AK} + \overrightarrow {KL} + \overrightarrow {LE} } \right) + \left( {\overrightarrow {FK} + \overrightarrow {KL} + \overrightarrow {LC} } \right)\)
\( = 2\overrightarrow {KL} + \left( {\overrightarrow {AK} + \overrightarrow {FK} } \right) + \left( {\overrightarrow {LE} + \overrightarrow {LC} } \right)\)
\( = 2\overrightarrow {KL} \) (1)
Ta có: \(\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {DF} = \left( {\overrightarrow {EN} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MF} } \right)\)
\( = 2\overrightarrow {NM} + \left( {\overrightarrow {EN} + \overrightarrow {DN} } \right) + \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MF} } \right)\)
\( = 2\overrightarrow {NM} \) (2)
Ta có: \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {FC} = \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {DF} \) (3)
Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {KL} = \overrightarrow {NM} \)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(MNKL\) là hình bình hành.
b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(KM,\,\,LN.\)
Ta có: \(\overrightarrow {EI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EL} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {ED} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EC} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {EC} } \right) = \frac{1}{4}.2\overrightarrow {EF} \\ = \frac{1}{2}\overrightarrow {EF} \end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {EI} \) và \(\overrightarrow {EF} \) cùng hướng
\( \Rightarrow \) ba điểm \(E,\,\,I,\,\,F\) thẳng hàng