Tính các vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BM} \) xong tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AC} . \overrightarrow {BM} \. Hướng dẫn cách giải/trả lời Giải bài 4.30 trang 65 sách bài tập toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ. Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau….
Đề bài/câu hỏi:
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 1,\,\,BC = \sqrt 2 .\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD.\)
a) Chứng minh rằng các đường thẳng \(AC\) và \(BM\) vuông góc với nhau.
b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AC,\,\,BM.\) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AH\) và \(P\) là trung điểm của \(CD.\) Chứng minh rằng tam giác \(NBP\) là một tam giác vuông.
Hướng dẫn:
– Tính các vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BM} \) xong tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} \)
– Tính độ dài các cạnh \(AC,\,\,AH\)
– Tính các vectơ \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {NP} \) xong tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP} \)
Lời giải:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) (quy tắc hình bình hành)
Ta có: \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} – \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} – {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = – {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} = – 1 + \frac{1}{2}\left( {\sqrt 2 } \right) – 1 + 1 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BM} \) \( \Rightarrow \) \(AC \bot BM\)
b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có:
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {1 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \) (1)
Xét \(\Delta ABN\) vuông tại \(A\) có:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow \,\,\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = 1 + 2 = 3\)
\( \Rightarrow \,\,AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(AH = \frac{1}{3}AC\)
Ta có: \(\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} – \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} \)
Ta có: \(\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {CP} – \overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} – \frac{5}{6}\overrightarrow {CA} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP} = \left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{25}}{{36}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} – \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} – \frac{1}{{18}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} – \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{{18}}.1 – \frac{5}{{36}}.\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{5}{{18}} – \frac{5}{{18}} = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NB} \bot \overrightarrow {NP} \) \( \Rightarrow \) \(NB \bot NP\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta NBP\) vuông tại \(N\).