Chia cả tử vào mẫu cho \({\cos ^3}\alpha \) rồi tính giá trị biểu thức K. Vận dụng kiến thức giải Giải bài 3.4 trang 33 sách bài tập toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ. Tính giá trị của biểu thức…
Đề bài/câu hỏi:
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \({0^ \circ } < \alpha < {180^ \circ },\,\,\tan \alpha = \sqrt 2 .\) Tính giá trị của biểu thức
\(K = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + \sin \alpha .{{\cos }^2}\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha .\cos \alpha – 4{{\cos }^3}\alpha }}{{\sin \alpha – \cos \alpha }}.\)
Hướng dẫn:
Chia cả tử vào mẫu cho \({\cos ^3}\alpha \) rồi tính giá trị biểu thức K.
Lời giải:
Chia cả tử vào mẫu của biểu thức K cho \({\cos ^3}\alpha \) ta được:
\(\begin{array}{l}K = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + \sin \alpha .{{\cos }^2}\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha .\cos \alpha – 4{{\cos }^3}\alpha }}{{\sin \alpha – \cos \alpha }}\\K = \frac{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{\sin \alpha .{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{2{{\sin }^2}\alpha .\cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} – \frac{{4{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{\frac{{\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} – \frac{{\cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}\\K = \frac{{{{\tan }^3}\alpha + \tan \alpha + 2{{\tan }^2}\alpha – 4}}{{\tan \alpha .\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} – \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}\\K = \frac{{{{\tan }^3}\alpha + \tan \alpha + 2{{\tan }^2}\alpha – 4}}{{\tan \alpha .\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right) – \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)}}\\K = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3} + \sqrt 2 + 2{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} – 4}}{{\sqrt 2 \left[ {1 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \right] – \left[ {1 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \right]}}\\K = \frac{{3\sqrt 2 }}{{3\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 – 1}} = \sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + 1} \right).\end{array}\)